世界基数

如果一个k满足Vκ是ZFC的一个模型，那么κ是一个世界基数。

不可达基数

这个基数不与自然数集等势，＞N0，其序数为α，

设定β是序数，称β∪{β}为β的后继.可以证明，β是序数，则β的后继也是序数，记为β+1.

而序数α，不可以找到序数β，使α为β的后继，即不存在?β(α=β+1)。

不可达基数I强不可达基数

cfκ=K(正则基数)，满足κ＞??，如果?＜κ,那么P(?)或者其他任何运算也＜κ(强极限基数)κ就是一个强不可达基数,一般把强不可达基数叫做不可达基数,在GCH之下，每个弱不达基数也是强不可达基数，每个强不可达基数也都是弱不可达。

不可达基数是第一个大基数,比它小的称为小基数

这只是第一个不可达基数，

暂记作l(0)还会有第二个不可达：l(1)……

K是l(K)时便是2-不可达基数,暂记l?

K是Ⅰ?(K)便是3-不可达基数……

当K是K-不可达基数时便是超不可达基数

马洛基数

又称马赫罗基数

对于所有K，正则基数β的初始段（即β以下的所有基数）中都包含一个K基数。这里的K在这个基数以上所有的正则无限基数的并集中，删去所有小于K的基数后，剩余的基数集合是一个K的闭集。

也就是一个马洛基数κ之下的不可达基数组成驻集，小于κ的所有正则基数集合是κ的驻子集，则κ为马洛基数，说明白点就是任意不可达基数k，其他不可达基数在这个k前面形成无界闭集

取驻集族为{a{0,1}都存在一个κ个元素的子集使f在这个集上的值相同。

不可描述基数

基数K称为∏n

不可描述基数如果对于每个∏m命题(φ，并且设置A?∨κ与(Vκ+n,∈，A)╞φ存在一个α＜κ与(Vα+n，∈,A∩Vα)╞φ。这里看一下具有m-1个量词交替的公式，最外层的量词是通用的。∏n

不可描述基数以类似的方式定义。这个想法是，即使具有额外的一元谓词符号（对于A）的优势，也无法通过具有m-1次量词交替的n+1阶逻辑的任何公式将κ与较小的基数区分开来（从下面看）。这意味着它很大，因为这意味着必须有许多具有相似属性的较小基数。

如果基数κ是∏nm，则称它是完全不可描述的——对于所有正整数m和n都难以描述。

可迭代基数

将基数κ定义为可迭代的，前提是κ的每个子集都包含在弱κ-模型M中，其中在κ上存在一个M-超滤器，允许通过任意长度的超幂进行有根据的迭代。Gitman给出了一个更好的概念，其中一个基数κ被定义为α-iterable如果仅需要长度为α的超幂迭代才能有充分根据。

拉姆齐基数：

构造：

让[κ]＜ω表示κ的所有有限子集的集合。如果对于每个函数，基数κ称为Ramsey

f:[κ]＜ω→{0,1}

存在基数为κ的集合A对于f是齐次的。也就是说，对于每个n，函数f在A的基数n的子集上是常数。如果A可以被选为κ的固定子集，则基数κ被称为不可言说的Ramsey。如果

对于每个函数，基数κ实际上

被称为Ramsey

f:[κ]＜ω→{0,1}

存在C，它是κ的一个闭无界子集，因此对于C中具有不可数共尾性的每个λ，