下面把∏?-反射onto简写为x-，且则用空格代替。a是b稳定则用箭头代替,即a→b

首先是∏?-反射(简写为1):

1=ω

1-1=ω^2

1-1-1=ω^3

(1-)^ω=ω^ω左上角表示反射链长度

(1-)^((1-)^ω)=ω^^3

a-(1-)^a的第一个不动点就是ε_0

我们可以设X(1,m)=a-(1-)^a的第m个不动点.然后用X(2,0)折叠X(1,…)的不动点.这样继续下去.可以得到任意大的递归序数.

∏?-反射(简写为2,后面将不再叙述):

2=ω_1^CK因为1反射序数可以描述任意大的递归序数.但它永远也描述不了ω_1^CK(首个非递归序数).所以2反射=ω_1^CK.

下面把ω_x^CK简写为Ω_x

1-2=Ω_ω第ω个非递归序数

1-1-2=Ω_(ω^2)第ω^2个非递归序数

(1-)^ω2=Ω_(ω^ω)

通过把1反射的不动点套在2反射前可以得到任意Ω_(递归序数)

(1-)^(2)2=Ω_Ω长度为Ω的1反射链.

(1-)^(1-2)2=Ω_Ω_ω

(1-)^((1-)^(2))2=Ω_Ω_Ω

a-(1-)^a2的第一个不动点是Φ(1,0).也就是Omega不动点.

通过创造(1-)^a2的各种不动点可以得到任意大的容许序数.放在OCF里就是诸如ψ_I(I^2),ψ_I(K)之类的东西.

它们永远小于也到达不了“I”递归不可达序数.

21-2=I它正是1-1-…2描述不了的

1-(21-2)=I_ω第ω个不可达序数

1-1-(21-2)=I_(ω^2)

(1-)^(2)(21-2)=I_Ω

(1-)^(21-2)(21-2)=I_I

(1-)^((1-)^(21-2)(21-2))(21-2)=I_I_I

通过创造(1-)^a(21-2)的各种不动点可以得到ψ_I(1,0)(I(1,0,0)),ψ_I(1,0)(M^5)…等各种序数(在OCF中)

它们永远达不到下面的:

21-(21-2)=I(1,0)I的容许极限,1-1-…(21-2)无法描述的序数.

1-(21-(21-2))=I(1,ω)

(1-)^(21-(21-2))(21-(21-2))=I(1,I(1,0))

21-(21-(21-2))=I(2,0)I(1,0)的容许极限

21-(21-(21-(21-2)))=I(3,0)

(21-)^ω=I(ω,0)

(21-)^((21-)^2)=I(I(1,0),0)

下面把(21-)^(…)的第一个不动点记为(21-)^(1,0).那么(21-)^(1,0)=ψ_I(1,0,0)(0)

21-(21-)^(1,0)=(21-)^(1,1)=I(1,0,0).I(…,0)的容许极限.也是a-(21-)^a的第二个不动点.

通过创造(21-)^a的各种不动点.我们可以得到任意大的不可达序数.

2-2=MMahlo序数,(21-)^…所无法描述的序数