如果你觉得太孤单，与Ｉ相关的函数有Φ函数。

Φ(0,α)=Ω_α

Φ(0,Φ(0,Φ(0,……)))=Φ(1,0)=Ω_Ω_Ω_……=Ｉ（φ函数的味）

ψ(Φ(1,1))=ψ(Φ(0,Φ(0,Φ(0,……Φ(1,0)))))=ψ(ψ_Ｉ(1))

ψ(Φ(2,0))=ψ(Φ(1,Φ(1,Φ(1,……Φ(1,0)))))=ψ(ψ_Ｉ(Ｉ))

ψ(Φ(2,1))=ψ(ψ_Ｉ(Ｉ2))

ψ(Φ(3,0))=ψ(ψ_Ｉ(Ｉ2))

ψ(Φ(4,0))=ψ(ψ_Ｉ(Ｉ3))

ψ(Φ(1,0,0))=ψ(ψ_Ｉ(Ｉ^Ｉ))

ψ(ψ_Ｉ(Ｉ^Ｉ^ω))=ψ(Φ(1,0,0,0,……))，Ｉ版的SVO。

ψ(ψ_Ｉ(Ｉ^Ｉ^Ｉ))，Ｉ版的LVO。

ψ(ψ_Ｉ(Ｉ^Ｉ^Ｉ^……))=ψ(ψ_Ｉ(ψ_(Ω_Ｉ+1)(0)))=ψ(ψ_(Ω_Ｉ+1)(0))，Ｉ版的BHO。

ψ(ψ_(Ω_Ｉ+1)(Ｉ))=ψ(ψ_(Ω_Ｉ+1)(ψ_Ｉ(ψ_(Ω_Ｉ+1)(……ψ_Ｉ(ψ_(Ω_Ｉ+1)(0))))))，Ｉ被加强了，琢磨一下。

ψ(ψ_(Ω_Ｉ+1)(Ω_Ｉ+1))=ψ(ψ_(Ω_Ｉ+1)(ψ_(Ω_Ｉ+1)ψ_(Ω_Ｉ+1)……(0)))

α→ψ(ψ_(Ω_Ｉ+α))的序数不动点为ψ_Ｉ(2)(0)，不要认为它是ψ(ψ_Ω_Ｉ(Ω_(Ｉ2)))。

ψ(Ｉ(3))

ψ(Ｉ(Ｉ(Ｉ……(Ｉ(Ｉ(Ｉ))))))=Ｉ(1,0)

ψ(Ｉ(1,0,0))多元φ函数：又学我

ψ(Ｉ(1,0,0,0))

ψ(Ｉ(1@4))

再往下走下去又有ψ(Ｉ(1@ψ(Ｉ(1@1))))等等。

如果觉得太麻烦，还有χ函数，里面还有Ｍ（马洛序数），它与Ｉ序列的关系是：

Ｉ(α?@(1+β?),……α?@(1+β?),α?@(1+β?),α?

)=χ(Ｍ^α?β?+……+Ｍ^α?β?+Ｍ^α?β?,α?)

ψ(Ｉ(ω@ω))=ψ(χ(Ｍ^Ｍ^ω))

ψ(Ｉ(ω@ω@ω))=ψ(χ(Ｍ^Ｍ^Ｍ^ω))

就这样一直下去，你也可以自己造一个新的函数，继续下去，就像有限世界一样……

有限的尽头是无限。那么，按理说，一直这样下去也要有个头啊。

没错，这个头就是非递归序数。

非递归序数，字面意思就是指不能用任何运算和递归关系来达到的数。因此，非递归序数就像一个升级的无穷序数。

非递归序数也分多个。第一个非递归序数是ω???（其中，下标1表示第1个，上标cK表示非递归的教堂克林序数），即教堂克林序数。然而它依然是有限序数:(

第二个非递归序数是ω???，它则是所有由ω???通过各种递归运算得出的序数的集合。

运可以增强下标弄出更多的序数。（ω???）

顺便说一下，教堂克林序数可以表示忙碌海狸函数，Σ(n)的增长率为ω???，Σ?(2)=ω???+1，高阶图灵机的增长率Σ?(n)为ω???

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只要图灵机选的恰当，f_w1ck可以被f_w+3超越

LetObeKleene’ssystemoford