ω×ω×ω=ω^3

虽然不容易表示，但是顺序数的乘法满足结合规律。即，(ω×ω)×ω=ω×(ω×ω)。看看左边，就知道了基本列，

ω×ω×1，ω×ω×2，ω×ω×3，

※ω×(ω+1)×ω按计算，

=(ω^2+ω)×ω，为极限顺序数。如果你看看这个基本列，

(ω^2+ω)×1，(ω^2+ω)×2，(ω^2+ω)×3，...

是。和在左侧不能使用分配法则，所以要仔细计算。

(ω^2+ω)×1=ω^2+ω

(ω^2+ω)×2=ω^2+ω+ω^2+ω=ω^2×2+ω

(ω^2+ω)×3=ω^2×3+ω

该顺序数列不会超过ω^3，但可以比小于ω^3的任何顺序数都大。因此，该列收敛于ω^3。因此，

ω×(ω+1)×ω=ω^3

ω^ω

这是满足ω×α=α的第二个顺序数。另外，第一个是0。基本列为ω^1、ω^2、ω^3，...

※如果观察※ω×ω^ω的基本列，

ω×(ω)、ω×(ω×ω)、ω×(ω×ω×ω)、...

那么，因为乘积中耦合定律成立，所以最终这个收敛点是ω^ω，

ω×ω^ω=ω^ω

ω^ω×ω

这真的比ω^ω大。先看基本排吧。

ω^ω×1，ω^ω×2，ω^ω×3，...

这是因为，

ω^ω，ω^ω+ω^ω，ω^ω+ω^ω+ω^ω，...

正在说这样的话。ω^ω+1是ω^ω的次序数，所以真的很大，ω^ω比1大，所以可知ω^ω×ω也比ω^ω大。

ω^ω^2

计算得出，ω^(ω×ω)，其收敛列为

ω^(ω×1)、ω^(ω×2)、ω^(ω×3)、...是。

ω^ω^ω

收敛列为

ω^ω^1，ω^ω^2，ω^ω^3，...

ε_0

这就是被称为伊普西隆零的顺序数。这是一个到达地点，在众多的顺序数中也绽放出灿烂的光芒。首先看基本列，掌握实际情况吧。

ω，ω^ω，ω^ω^ω，...

这样重写可能已经很熟悉了。

ω^^1，ω^^2，ω^^3，...

也就是说，也可以写成ε_0=ω^^ω。但是，顺序数中通常没有定义重复^^，所以写法有点危险。

ε_0的重要性质是，以下的顺序数和不能使用和、积、乘方表示的第二顺序数。(另外，设1=0^0。第一个顺序数为ω)

那么，从这里开始一边眺望顺序数一边练习。

ε_0×2

顺序数随时求基本列与性质直接相关。为了求出这个基本列，先重写吧。

ε_0+ε_0

形成和的形式后，求出最右侧的顺序数的基本列即可。无论什么时候，将最后计算的运算右侧的顺序数作为极限顺序数，求出其基本列是固定的。

ε_0+ω，ε_0+ω^ω，ε_0+ω^ω^ω，...

ε_0^(ω+1)

这也是极限顺序数，但最后计算项的右侧为ω+1，不是极限顺序数。指数规律，无论什么时候都不能和实数一样使用，但这次可以顺利进行。

重写为ε_0^ω×ε_0，其基本列为、

ε_0^ω×ω，ε_0^ω×ω^ω，ε_0^ω×ω^ω^ω...<